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一个菜鸟程序员的成长历程

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高等数学笔记

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高等数学笔记

$y = x^(m/n) 相当于 y^n = x^m$

三角函数

  • sinx,tanx,cotx,cscx是奇函数
  • cosx,secx是偶函数
  • tanx = sinx/cosx
  • cotx = cosx/sinx
  • $cos^2x + sin^2x = 1$
  • $1 + tan^2x = sec^2x$
  • $cot^2x + 1 = csc^2x$
  • $cos^2x = (1 + cosx) / 2$
  • $sin^2x = (1 - cosx) / 2$
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sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb
sin2x = 2sinxcosx
cos2x = cosx^2 - sinx^2

单位圆上

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sinx = y/r
cosx = x/r
tanx = y/x

余割 cscx = r/y
正割 secx = r/x
余切 cotx = x/y

余弦定理

$$c^2 = a^2 + b^2 -2ab * cosx$$

反函数

  • $sec^-1 X = cos^-1 (1/X)$
  • $csc^-1 X = sin^-1 (1/x)$
  • $cot^-1 X = π/2 - tan^-1X$

对数

  • ln(a * b) = lna + lnb
  • ln(a / b) = lna - lnb
  • lnx^n = n * lnx
  • ln(ⁿ√x)=lnx/n
  • lne = 1
  • ln1 = 0
  • logab = logcb / logca
  • a^x = logaX = e^xlna
  • e^lnx = x
  • lne^x = x
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lnx = 3t+5
e^lnx = e^3t+5
x = e^3t+5

e^2x = 10
ln e^2x = ln 10
2x = ln10
x = 1/2 * ln10

幂函数

  • a^m * a^n = a^m+n
  • a^m / a^n = a^m-n
  • (a^m)^n = a^mn
  • (a^m * a^n)^p = a^mp * b^np

求切线方程

公式 y-y0=m(x-x0),m为斜率，也就是导数。代入点到x0,y0处求方程，比如y=2^x在(0,1)点的切线方程

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y = 2^x的导数为ln2 * 2^x，x = 0代入为ln2
在点(0,1)处代入 y - 1 = ln2 (x - 0)
y - 1 = ln2x - 0
y - ln2x - 1 = 0

导数

四则运算

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d/dx (a+b) = d/dx a + d/dx b
d/dx (a*b) = d/dxa * b + a * d/dx b
d/dx (a/b) = (d/dxa * b - a * d/dx b) / b^2
d/dx (ca) = c * d/dx a, c为常数
d/dx (1/v) = -v^-2 * d/dx v

链式法则

d/dx f(g(x)) = d/dx f(g) * d/dx g(x)

隐函数微分法

对于不像y=2x这种直接的函数。比如x^2 + y^2 = 1这种函数，可以直接对每一项求导。在使用链式法则就可以得到y的导数

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x^2 + y^2 = 1 对每一项求导后 x^2 = 2x, y^=2y , 1 = 0,因为y是函数，在对y使用链式法则，得:
2x + 2y * d/dx y = 0
2y * d/dx y = -2x
d/dx y = -2x / 2y
d/dx y = -x/y

对数微分法

常见导数

  • 常数导数为0
  • $sinx = cosx$
  • $cosx = -sinx$
  • $tanx = sec^2x$
  • $1/x = -1/x^2$
  • $x^a = a*x^a-1$
  • $a^x = lna(a^x)$
  • $lnx = 1/x$

线性近似

f(x) = f(x) + d/dx f(x) (x - x0)

当x=0时：
f(x) = f(0) + d/dx f(0) * x

lnx的线性近似，当x = 1时:
lnx = ln1 + d/dx ln1 (x - 1)
lnx = 0 + 1 * (x - 1) = x - 1

当x = 0时：

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lnx = ln(1 + x) = 1 + x - 1 = x
sinx = 0 + cos0 * x = x
cosx = 1 + 0 * x = 1
e^x = 1 + 1 * x = 1 + x
(1 + x)^r = 1 + rx

二阶近似

f(x) = f(x) + d/dx f(x) (x - x0) + f(x)’’/2 * (x - x0)^2

当x=0时：
f(x) = f(0) + f(0)’ * x + f(0)’’/2 * x^2

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sinx = x
cosx = 1 - 1/2 * x^2
e^x = 1 + x + 1/2 * x^2  
ln(1 + x) = x -  1/2 * x^2
(1 + x)^r = 1 + rx + r(r-1)/2 * x^2

曲线构图

  • if f’ > 0, f 是递增的
  • if f’ < 0, f 是递减的
  • if f’’ > 0, f’ 是递增的
  • if f’’ < 0, f’ 是递减的

if f(x0)’ = 0, 则 x0 为临界点， y0 = f(x0) 为临界点值 。

if f(x0)’’ = 0,则 x0为 拐点。

画图

  • 描点
    • 找出不连续的点
    • 找出最远端的点
    • 找出一些简单的点
  • 求出导数为0的点
    • 标出临界点的值
  • 判断f’在每个区间的正负性
  • 判断f’’的正负性，以判断凹凸性
    • 求出f0’’，算出拐点
  • 组合所有信息

最大最小值

只需要求出临界点，最远端的点和不连续的点就可以找出最大最小值

牛顿迭代法

用来求函数f(x)在x轴上的交点x，对y点做一切线，切线交于X轴的点为X1,求出X1点，并对X1点的y点做切线交于X轴为X2点，不断重复，求出X点

Xn+1 = Xn - f(Xn)/f’(Xn)

x^2 = 5

x = 根号5

X1 = X0 - (X0^2 - 5/2X0)
X1 = X0 - 1/2 * X0 + 5/2X0
X1 = 1/2 * X0 + 5/2X0

X点的误差在
E1 = |X - X1|
E2 = |X - X2|

En = |根号5 - Xn-1|

E2 约等于 E1^2

f’不能太小 f’’不能太大并且X0要在X的附近

中值定理

(f(b) - f(a)) / (b - a) = f(c)’ 要求x在a < x < b 之间可微，在a <= x <= b之间连续

比如：一辆车从北京到上海，在路上，一定有一段时间的速度等于平均速度

如果f’ > 0 则 f 增长
如果f’ < 0 则 f 递减
如果f’ = 0 则 f 是常数

重要不等式

e^x > 1+x

e^x > 1+x+1/2*x^2

微分

y = f(x) 的微分记作 dy = f(x)’dx

下面的例子，求解出来是fx = y + dy，其实就是线性近似 fx = fa + f’(x - a), x - a其实就是dx，f’ * dx就是dy,fa就是y

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例子1
求 64.1的1/3次方
令 y = x的1/3次方
dy = 1/3X^-2/3 * dx
当x=64的时候, y = 64^1/3 = 4
dy = 1/3 * 64^-2/3 * dx
   = 1/3 * 1/16 * dx
   = 1/48 * dx
如果x=64,求64.1，则dx = 0.1
求 64.1的1/3次方, y = 64的1/3次方，那么 
64.1的1/3次方 = y + dy   = 4 + (1/48 * dx)
                        = 4 + (1/48 * 1/10)
                        = 4 + 1/480
                        约等于 4.002

反导数(不定积分)

一阶导数微分的解就是函数，二阶导数微分的解就是一阶导数。式子 f’ = f + C

G(x) = 积分 g(x) dx, Gx 就是 gx 的反导数

积分sinx dx = -cosx，因为 -cosX的一阶导数是 sinX所以 积分sinX * dx = -cosX

不定积分的不定就是可以在后面加上一个常数C,也就是

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Gx = 积分 sinX * dx = -cosX + C也成立

重要积分

  • x^a的不定积分 = (1/a+1 * X ^ a+1) + C 当 a 不等于 - 1时成立，因为a = -1分母为0
  • 1/X的不定积分 = (ln|X|) + C
  • sec2X 的不定积分 = tanX + C
  • 1/根号 1-X^2 的不定积分 = sin-1X + C
  • 1/1+X^2的不定积分 = tan-1X + C

积分换元法

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例子1
求解 X^3 * (X^4 + 2)^5 * dx 的积分

令 u = x^4 + 2, 则 du = u' + dx = 4x^3 * dx

x^3 * (x^4 + 2)^5 * dx 
= u^5 * x^3 * dx 
= u^5 * 1/4 * du
= 1/24 * u^6 + C
= 1/24 * (x^4 + 2)^6 + C

提前猜测

例子2

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求解 e^6x 的积分

e^6x的导数是 6*e^6x
他的导数乘以 1/6就是 e^6x
所以 积分就是 1/6 * e^6x + C

例子3

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求 x * e^-x^2的积分

猜测 e^-x^2,求导 = e^-x^2 * -2x
所以 积分 = 1/2 * e^-x^2 + C

例子4

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求 sinx cosx的积分

猜测 sinX^2, 求导 = 2sinxcosx
所以 积分 = 1/2sinx^2 + C

也可以猜测 cosx^2,求导 = -2sinxcosx
所以 积分 = -1/2cosx^2 + C

两个都成立，两者可以相减 1/2 sinx^2 - (-1/2 cosx^2) = 1/2 所以 两个 C 相差 1/2

高级猜测

例子4 求 (d/dx + x) * y = 0

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(d/dx + x) * y = 0
dy/dx + xy = 0
dy/dx = -xy
dy = -xy * dx
dy/y = -x * dx                                           把y和x各放到一边
积分 dy/y = 积分 -x * dx                                  对两边同时积分
因为 lny的导数是1/y 所以 积分 dy/y  = lny
因为 -x^2/2 的导数是 -x 所以 积分 -x * dx = -x^2/2
则 ： lny = -x^2/2 + C                                   y > 0
e^lny = e^-x^2/2 + C                                     对两边同时取对数
y = A * e^-x^2/2  (A = e^c)

分离变量法

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dy/dx = f(x) * g(y) = -x * y
dy/g(y) = f(x) * dx
G(y) = 积分 dy/g(y)
F(x) = 积分 f(x) * dx
G(y) = F(x) + C
上面是隐式方程，为了变成显式方程还需要求逆
y = G^-1(F(x) + C)

定积分

几何意义是求函数曲线下的面积

  1. 划分成多个矩形 所有矩形的底边一样长，都是b/n

例子1 y = x^2 的定积分 a = 0, b = n

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划分成多个矩形后，第一个矩形的面积 = 底 * 高 = b/n * f(x) = b/n * (b/n)^2
第二个矩形的面积 = 底 * 高 = b/n * f(x) = b/n * f(2 * b/n) = b/n * (2b/n)^2
第n个矩形的面积 = b/n * (nb/n)^2
矩形面积的和 提取公因子 (b/n)^3 * (1^2 + 2^2 + .... + n^2)
(1^2 + 2^2 + .... + n^2) 想成金字塔，其体积最小是 1/3 * n^3 ，体积最大是 1/3 * （n+1）^3 
而矩形面积的和 =  (b/n)^3 * (1^2 + 2^2 + .... + n^2) = b^3 * (1^2 + 2^2 + .... + n^2)  / n^3
1/3 < (1^2 + 2^2 + .... + n^2)  / n^3 < 1/3 * （n+1）^3 / n^3
根据夹逼定理，左边的极限是 1/3 右边 1/3 * （n+1）^3 / n^3 = 1/3 * (n+1/n)^3 = 1/3 * (1 + 1/n)^3 当n趋于无穷的极限也是1/3所以中间的极限是1/3
矩形面积的和 =  b^3 * (1^2 + 2^2 + .... + n^2)  / n^3 = b^3 * 1/3

定积分

  • x^2 = b^3/3
  • x = b^2/2
  • 1 = b

微积分第一基本定理

if F(x)’ = f(x) , than 从a到b f(x) dx的定积分 = F(b) - F(a) = b的积分 - a的积分

例子1 x^2

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从a到b x^2 dx 的定积分 = F(b) - F(a) = b^3/3 - a^3/3
当a = 0,则 b^3/3 - 0/3 = b^3/3

运算法则

  • 积分（fx + gx） = 积分fx + 积分gx
  • 积分（c * fx） = c * 积分fx
  • 如果 a < b < c 则 a到b的积分 + b到c的积分 = a到c的积分
  • a到a的积分 = 0
  • a到b的积分 = -（b到a的积分）
  • 如果 fx <= gx,那么从a到b fx的积分 <= gx的积分 a < b

微积分第二基本定理

if f 是连续的函数，并且 G(x) = 从a到x的积分 f(t) dt, than G(x)’ = f(x)

平均公式

1/(b - a) * 从a到b的积分f(x) dx

加权平均公式

从a到b的积分 f(x) w(x) dx / 从a到b的积分 w(x) dx

圆盘法

先求一个圆盘的体积，也就是 面积 * 高 = πr^2 * dx，然后积分

壳层法

先求竖着的圆柱的体积，绕一圈在展开变成长方体，求体积就是 长 * 宽 * 高 = 圆的周长 * dx * f(x)，然后积分

数值积分

三角替换

  • tanx的积分 = ln(cosx) + C
  • secx的积分 = ln(secx + tanx) + C

例题1

求secX的4次方的积分

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因为 sexX^2 = 1 + tanX^2，所以secx^4 dx的积分 = （1 + tanx^2）sexX^2 dx的积分

令 u = tanx, du = secX^2 dx，则 = (1 + u^2) du的积分 = u + u^3/3 + C
= tanx + tanx^3/3 + C

例题2

1/(x^2根号下1+x^2)的积分

例题3

tan (arc cscx) = 1/ (根号x^2 - 1)

被积函数 三角替换 结果
根号下a^2 - x^2 x = acosx or y = asinx asinx or acosx
根号下a^2 + x^2 x = atanx asecx
根号下x^2 - a^2 x = asecx atanx

例题4

dx/根号x^2+4x

部分分式

如果分子项数 < 分母项数，可以用掩盖法

  1. 对分母因式分解成 x/(x+1)(x-2) 的形式
  2. 设置未知数 变成 A/x+1 和 B/x-2
  3. 掩盖法解A,B,先同乘以一个分母 比如 x+1 则变成 A + B/(x-2) * (x + 1),令x = -1则 B这项为0从而解出A,同理解出B

如果分子项数 >= 分母项数， 用直接除法变成 分子项数 < 分母项数的形式

常用积分

被积函数 结果
lnx的积分 xlnx - x + C
(lnx)^2 x(lnx)^2 - 2(xlnx - x) + C
tanx的积分 ln(cosx) + C
cotx的积分 ln(sinx) + C
secx的积分 ln(secx + tanx) + C